最近研究圖像處理，發(fā)現(xiàn)其中有許多相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)，所以我在網(wǎng)上找了一下。然后在這里總結(jié)一下。

梯度：

說起梯度我們首先想到的時(shí)數(shù)學(xué)上的一個(gè)公式

這個(gè)公式表示的是函數(shù)f(x,y)f(x,y) 在點(diǎn) P(x,y)P(x,y) 的梯度,記作gradf(x,y)gradf(x,y),或▽f(x,y)▽f(x,y)。

在中表示方法是數(shù)學(xué)中的表示方法。其實(shí)可以發(fā)現(xiàn)如果上述的函數(shù)是一個(gè)單變量的函數(shù)，可以發(fā)現(xiàn)梯度就是導(dǎo)數(shù)，或者，對(duì)于一個(gè)線性函數(shù)，也就是線的斜率。當(dāng)然光看著這個(gè)梯度公式還是比較抽象，所以現(xiàn)在說說它在物理學(xué)中的實(shí)際意義，這樣更有一個(gè)直觀的認(rèn)識(shí)。

設(shè)體系中某處的物理參數(shù)(如溫度、速度、濃度等)為w，在與其垂直距離的dy處該參數(shù)為w+dw，則稱為該物理參數(shù)的梯度，也即該物理參數(shù)的變化率。如果參數(shù)為速度、濃度、溫度或空間，則分別稱為速度梯度、濃度梯度、溫度梯度或者空間梯度。其實(shí)這個(gè)概念從他的表達(dá)式就可以看的出來。

在向量微積分中，標(biāo)量場(chǎng)的梯度是一個(gè)向量場(chǎng)。標(biāo)量場(chǎng)中某一點(diǎn)上的梯度指向標(biāo)量場(chǎng)增長(zhǎng)最快的方向，梯度的長(zhǎng)度是這個(gè)最大的變化率。

那么重點(diǎn)來了，這個(gè)梯度在圖像處理中到底表示什么意思呢。

在圖像處理中我們可以把圖像看成一個(gè)離散的函數(shù)，這樣在里面對(duì)每一個(gè)像素值進(jìn)行求導(dǎo)操作這樣就可以得到圖像的梯度。

圖像梯度: G(x,y) = dx i + dy j;

dx(i,j) = I(i+1,j) - I(i,j);

dy(i,j) = I(i,j+1) - I(i,j);

其中,I是圖像像素的值(如：RGB值)，(i,j)為像素的坐標(biāo)。

圖像梯度一般也可以用中值差分：

dx(i,j) = [I(i+1,j) - I(i-1,j)]/2;

dy(i,j) = [I(i,j+1) - I(i,j-1)]/2;

這樣我們可以發(fā)現(xiàn)梯度表示的是圖像像素值的變化情況。當(dāng)然求解圖像梯度還有很多種的方法。可以利用各種算子進(jìn)行求解操作。

散度

散度的本質(zhì)是通量對(duì)體積的變化率，而且散度絕對(duì)值的大小反應(yīng)了單位體積內(nèi)源的強(qiáng)度。如果divA>0表明改點(diǎn)處有正源；如果divA<0表明該點(diǎn)處有負(fù)源；如果divA=0表明該點(diǎn)無源。

什么話到底什么意思呢。下面引用知乎上面一個(gè)大神的解釋。

用水流來解釋，散度的物理意義可以敘述為：

如果一點(diǎn)的散度大于0，那么在這一點(diǎn)有一個(gè)水龍頭不斷往外冒水（稱為源點(diǎn)）

如果一點(diǎn)的散度小于0，那么在這一點(diǎn)有一個(gè)下水道，總有一些水只進(jìn)不出（稱為匯點(diǎn)）

如果一點(diǎn)的散度等于0，那么請(qǐng)放心，在這個(gè)點(diǎn)周圍的小區(qū)域里，單位時(shí)間進(jìn)來多少水就出去多少水。

根據(jù)上面我們可以得出散度的兩個(gè)具體的定義

第一種定義方式和坐標(biāo)系無關(guān)：

第二種定義方式則是在直角坐標(biāo)系下進(jìn)行的：

可以證明，在極限存在的情況下，兩種定義是等價(jià)的。因此也常直接用 ▽⋅F▽⋅F代表 F的散度。

從定義中還可以看出，散度是向量場(chǎng)的一種強(qiáng)度性質(zhì)，就如同密度、濃度、溫度一樣，它對(duì)應(yīng)的廣延性質(zhì)是一個(gè)封閉區(qū)域表面的通量。一般我們?cè)趫D像處理中使用第二個(gè)公式的概率還是比較大的。一般會(huì)和梯度場(chǎng)一起連著用。其實(shí)在圖像處理中求解某一個(gè)圖像的散度可以使用拉普拉斯算子進(jìn)行求解。這樣可以直接求解得到一個(gè)圖像的散度。

拉普拉斯方程

其中∇²為拉普拉斯算子，此處的拉普拉斯方程為二階偏微分方程。從上面公式的形式我們可以發(fā)現(xiàn)為什么說上面散度的求解方式可以利用拉普拉斯算子進(jìn)行求解了。

泊松方程

其實(shí)拉普拉斯方程式泊松方程的一個(gè)簡(jiǎn)化版。

泊松方程為△φ=f

在這里 △代表的是拉普拉斯算符(也就是哈密頓算符▽的平方)，而 f 和 φ 可以是在流形上的實(shí)數(shù)或復(fù)數(shù)值的方程?？梢园l(fā)現(xiàn)泊松方程比拉普拉斯方程后面結(jié)果多了一個(gè)式子。f=0那么久可以得到了拉普拉斯方程了。

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